ゲーデルとメタ

　今日は、息抜き的に哲学の話でも書きます。

　ネタはゲーデルですね。

　ゲーデルは不完全性定理のゲーデルです。ゲーデルはアリストテレスに始まる古典論理の完全性も証明していますが、今日はその話はしません。

　不完全性定理は岩波文庫かどこかで本が出てますが、記号だらけで読めたもんでもないです。しかし、論理学の本に解説がいろいろと出ていたりします。というか、私は駒場の野矢さんの論理学の授業で勉強したはずなのですが、全く記憶にありません・・・。最近、論考を読み終えたので、ついでに論理学周りをさらっと読んだので、書いてます。

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　で、不完全性定理って何？かと言いますと、自然数論を含む公理系に関しては、その系は完全ではないという話です。

　系が完全である、ということはどういうことかと言うと、命題の真偽が定まって、その系の中で証明可能ということです。

　で、不完全性定理は、真であるにも関わらず、その系の中からは証明できない命題が存在する、ということを証明した、というお話ですね。

　アナロジーで説明すると、アキレスと亀がいいでしょうか。

　アキレスと亀が走って競争をすることになった。

　亀はハンデとして、前からスタートした。

　亀がスタートした点にアキレスが到達するまでに亀は前に移動しているはずである。

　アキレスが亀のスタート地点に到達するまでに、亀が移動した点にまたアキレスが到達するまでに、亀は移動しているはずである。

　これを永遠に繰り返すので、アキレスは亀に追いつけない。

　というロジックがあったとして。

　これ、感覚的に明らかに偽ですよね。アキレスは亀に追いつけるはずです。

　でも、この理屈だと、アキレスは亀に追いつけない。

　一般的には、速度概念を導入して、無限級数の和を使って追いつけることを証明しますが、この系では、直線と２つの運動の話ししかしてない。速度の話はしてません。ここに速度概念を導入して解くのは、その公理系の外に速度を定義することではないでしょうか？

　というアナロジーでなんとなく伝わるでしょうか？（一般的にはこういうアナロジーで解説しません。あくまでわかりやすく伝えるためです。ご容赦下さい。）

　系の外側を規定しないと、解けない問題が系には存在するというイメージです。

　そうすると、どんな系を想定しても、そのメタな系を使って解く問題が出てくる。問題を全て解いていこうとすると系は次から次へと大きくなっていってしまい、その拡大には終わりがない・・・。

　というようなお話です。

　どんなシステム、系があったとして、そこに生じる問題を全て解こうとすると、外部の系、メタな系が必要になる。

　メタへ、メタへと人間の想定する系がどんどん変容していく感じですね。

　パラダイムシフトは永遠に続くみたいなもんでしょうかね。世界を人間が分かりつくすようなことはない、というようなアナロジーとして使われますね。

　私の中でゲーデルは世界がメタへメタへとでかくなっていくことを証明した人、です。クーンのパラダイムシフトは必ずしも後のパラダイムと前のパラダイムに優劣はなかったと思いますが、まあ、後のほうが優れていると信じたいかなあ、と。

　ま、息抜きです。興味がある人は、ゲーデル関連の本でも読んでみてください。オススメは野矢先生の「論理学」です。それでは、次回をお楽しみに。

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